Kompetensi A
Mererapkan Konsep Operasi Bilangan Real
1. Menerapkan Operasi Pada Bilangan real
Sebelum kita menerapkan oporasi pada bilangan real (R), sebaiknya terlebih dahulu kita mengetahui macam-macam bilangan real.
1.1 Macam- macam bilangan real.
Perhatikan sistem bilangan di bawah ini.
1. Bilangan asli
Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan “A” yaitu A =
2. Bilangan cacah
Himpunan bilangan cacah dilambangkan dengan “C” yaitu C =
3. Bilangan bulat
Bilangan bulat terdiri dari :
• Bilangan asli atau bilangan bulat positif,
• Bilangan nol, dan
• Bilangan bulat negatif aau lawan bilangan asli.
Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan “B”, yauti B=
4. Bilangan pecahan
Yang dimaksud dengan bilangan pecahan adalah suatu bilangan dalam bentuk dimana
dan . disebut pembilang dan b disebut penyebut.
Contoh :
5. Bilangan genap
Bilangan genap dirumuskan dengan
Contoh himpunan bilangan genap adalah
6. Bilangan ganjil
Bilangan ganjil dirumuskan dengan
Contoh himpunan bilangan ganjil adalah
7. Bilangan prima
Yang dimaksud dengan bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya mempunyai tepat
2 faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan prima dilambangkan dengan “P”, yaitu
.
8. Bilangan komposit
Suatu bilangan bulat positif disebut komposit jika mempunyai pembagi bilangan bulat
positif yang bukan 1 dan bukan bilangan itu sendiri.
Contoh himpunan bilangan komposit adalah
9. Bilangan rasional
Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai dimana
dan . Bilangan rasional dilambankan dengan “Q”
Contoh :
10. Bilangan irasional
Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai dimana
dan .
Contoh :
11. Bilangan imajiner/khayal
Bilngan imajiner /khayal adalah bilangan bulat negatif dibawah tanda akar.
Contoh :
12. Bilangan real
Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan
bilangan
irasional. Bilangan real biasanya disajikan dengan garis bilangan.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Himpunan bilangan real dilambangkan denga “R”.
13. Bilangan kompleks
Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan real dan bilangan
imajiner/khayal. Bilangan kompleks dilambangkan dengan “K”.
Contoh :
1.2 Operasi pada bilangan real
Sebelum kita membahas mengenai operasi pada bilangan real, terlebih dahulu kita pahami sifat-sifat operasi bilangan real sebagai berikut.
1.2.1 Sifat-sifat operasi bilangan real
Jika a, b, dan c bilangan real, maka berlaku sifat berikut.
1. Tertutup
(tertutup terhadap penjumlahan)
(tertutup terhadap perkalian)
2. Komutatif
(komutatif terhadap penjumlahan)
(komutatif terhadap perkalian)
3. Asosiatif
(asosiatif terhadap penjumlahan)
(asosiatif terhadap perkalian)
4. Distributif
a. Distributif terhadap penjumlahan
b. Distributif terhadap pengurangan
5. Identitas
(0=identitas penjumlahan)
(1=identitas perkalian)
6. Invers
( 0 = identitas penjumlahan )
( invers perkalian dari )
7. Jika , maka
8. Jika dan , maka
9. Jika dan , maka
Sifat-sifat
Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.
Penambahan Perkalian
closure:
a + b adalah bilangan bulat a × b adalah bilangan bulat
Asosiativitas:
a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
Komutativitas:
a + b = b + a a × b = b × a
Eksistensi unsur identitas:
a + 0 = a a × 1 = a
Eksistensi unsur invers:
a + (−a) = 0
Distribusivitas:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Tidak ada pembagi nol:
jika a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau keduanya)
http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_bulat#Sifat-sifat
Matematika Kelas 7. Bilangan Bulat
Contributed by Ari Siantiningsih
Saturday, 02 August 2008
Last Updated Sunday, 03 August 2008
BILANGAN BULAT
Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...); -0 adalah sama dengan 0 dan tidak
dimasukkan lagi secara terpisah). Pada bilangan bulat bisa dilakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan
pembagian yang masing-masing operasi mempunyai sifat-sifat tertentu.
SIFAT-SIFAT OPERASI BILANGAN BULAT
Ingin tahu bagaimana sejarah dan teori aslinya?
Ayo kita belajar bersama!
Sistem bilangan bulat tercipta sebagai perluasan sistem bilangan cacah untuk mendapatkan sistem bilangan yang
tertutup terhadap semua operasi hitung. Perluasan tersebut dilakukan dengan mencari bilangan yang tertutup terhadap
operasi pengurangan.
Definisi 1:
Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan B = { …, -2, -1, 0, 1, 2, ….} dengan operasi biner penjumlahan dan
perkalian.Untuk a, b, dan c sebarang bilangan bulat, berlaku sifat:
- Tertutup terhadap operasi penjumlahan. Ada dengan tunggal ( a + b)
- Tertutup terhadap operasi perkalian. Ada dengan tunggal ( a x b )
- Sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan.a + b = b + a
- Sifat komutatof terhadap operasi perkalian a x b = b x a
- Sifat assosiatif terhadap penjumlahan ( a + b ) + c = a + ( b + c )
- Sifat assosiatif terhadap operasi perkalian ( a x b ) x c = a x ( b x c )
- Sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
- Sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan
( a + b ) x c = ( a x c ) + ( b x c )
- Untuk setiap a, ada tunggal elemen 0 dalam B sehingga a + 0 = 0 + a = a, 0 disebut elemen identitas terhadap
bilangan bulat.
- Untuk setiap a, ada tunggal elemen 1 dalam B sehingga a x 1 = 1 x a = a, 1 disebut elemen identitas terhadap operasi
perkalianOPERASI PENJUMLAHAN PADA BILANGAN BULAT
Jika a dan b adalah bilangan bulat positif, bagaimana kita menyelesaikan
( - a ) + ( -b ) ?
Penyelesaian:
Misalkan c adalah bilangan bulat yang menyatakan ( - a ) + ( -b ), yaitu
c = ( - a ) + ( -b ) maka
c + b = ( - a ) + ( -b ) + b
c + b = ( - a ) + ( ( -b ) + b )
c + b = ( - a ) + 0
( c + b ) + a = ( - a ) + a
( c + b ) + a = 0
c + ( b + a ) = 0
c + ( a + b ) = 0
c +( a + b ) + (- (a + b)) = - ( a +b)
c + (( a + b ) + (- (a + b) ) = - (a + b)
c + 0 = - ( a + b)
c = - ( a + b)
Karena c = ( - a ) + ( -b ) maka ( -a ) + ( - b ) = - ( a + b).
Jadi, jika a dan b bilangan bulat positif, maka ( -a ) + ( - b ) = - ( a + b).
Jika a dan b bilangan cacah dengan a < b =" c," b =" c" c =" b" a =" b" a =" b" b =" c" b =" a" c =" a" b =" c" a =" b" a =" b" a =" b" n =" b" n =" b" n =" 0" n =" c" n =" c,">
Mererapkan Konsep Operasi Bilangan Real
1. Menerapkan Operasi Pada Bilangan real
Sebelum kita menerapkan oporasi pada bilangan real (R), sebaiknya terlebih dahulu kita mengetahui macam-macam bilangan real.
1.1 Macam- macam bilangan real.
Perhatikan sistem bilangan di bawah ini.
1. Bilangan asli
Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan “A” yaitu A =
2. Bilangan cacah
Himpunan bilangan cacah dilambangkan dengan “C” yaitu C =
3. Bilangan bulat
Bilangan bulat terdiri dari :
• Bilangan asli atau bilangan bulat positif,
• Bilangan nol, dan
• Bilangan bulat negatif aau lawan bilangan asli.
Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan “B”, yauti B=
4. Bilangan pecahan
Yang dimaksud dengan bilangan pecahan adalah suatu bilangan dalam bentuk dimana
dan . disebut pembilang dan b disebut penyebut.
Contoh :
5. Bilangan genap
Bilangan genap dirumuskan dengan
Contoh himpunan bilangan genap adalah
6. Bilangan ganjil
Bilangan ganjil dirumuskan dengan
Contoh himpunan bilangan ganjil adalah
7. Bilangan prima
Yang dimaksud dengan bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya mempunyai tepat
2 faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan prima dilambangkan dengan “P”, yaitu
.
8. Bilangan komposit
Suatu bilangan bulat positif disebut komposit jika mempunyai pembagi bilangan bulat
positif yang bukan 1 dan bukan bilangan itu sendiri.
Contoh himpunan bilangan komposit adalah
9. Bilangan rasional
Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai dimana
dan . Bilangan rasional dilambankan dengan “Q”
Contoh :
10. Bilangan irasional
Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai dimana
dan .
Contoh :
11. Bilangan imajiner/khayal
Bilngan imajiner /khayal adalah bilangan bulat negatif dibawah tanda akar.
Contoh :
12. Bilangan real
Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan
bilangan
irasional. Bilangan real biasanya disajikan dengan garis bilangan.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Himpunan bilangan real dilambangkan denga “R”.
13. Bilangan kompleks
Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan real dan bilangan
imajiner/khayal. Bilangan kompleks dilambangkan dengan “K”.
Contoh :
1.2 Operasi pada bilangan real
Sebelum kita membahas mengenai operasi pada bilangan real, terlebih dahulu kita pahami sifat-sifat operasi bilangan real sebagai berikut.
1.2.1 Sifat-sifat operasi bilangan real
Jika a, b, dan c bilangan real, maka berlaku sifat berikut.
1. Tertutup
(tertutup terhadap penjumlahan)
(tertutup terhadap perkalian)
2. Komutatif
(komutatif terhadap penjumlahan)
(komutatif terhadap perkalian)
3. Asosiatif
(asosiatif terhadap penjumlahan)
(asosiatif terhadap perkalian)
4. Distributif
a. Distributif terhadap penjumlahan
b. Distributif terhadap pengurangan
5. Identitas
(0=identitas penjumlahan)
(1=identitas perkalian)
6. Invers
( 0 = identitas penjumlahan )
( invers perkalian dari )
7. Jika , maka
8. Jika dan , maka
9. Jika dan , maka
Sifat-sifat
Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.
Penambahan Perkalian
closure:
a + b adalah bilangan bulat a × b adalah bilangan bulat
Asosiativitas:
a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
Komutativitas:
a + b = b + a a × b = b × a
Eksistensi unsur identitas:
a + 0 = a a × 1 = a
Eksistensi unsur invers:
a + (−a) = 0
Distribusivitas:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Tidak ada pembagi nol:
jika a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau keduanya)
http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_bulat#Sifat-sifat
Matematika Kelas 7. Bilangan Bulat
Contributed by Ari Siantiningsih
Saturday, 02 August 2008
Last Updated Sunday, 03 August 2008
BILANGAN BULAT
Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...); -0 adalah sama dengan 0 dan tidak
dimasukkan lagi secara terpisah). Pada bilangan bulat bisa dilakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan
pembagian yang masing-masing operasi mempunyai sifat-sifat tertentu.
SIFAT-SIFAT OPERASI BILANGAN BULAT
Ingin tahu bagaimana sejarah dan teori aslinya?
Ayo kita belajar bersama!
Sistem bilangan bulat tercipta sebagai perluasan sistem bilangan cacah untuk mendapatkan sistem bilangan yang
tertutup terhadap semua operasi hitung. Perluasan tersebut dilakukan dengan mencari bilangan yang tertutup terhadap
operasi pengurangan.
Definisi 1:
Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan B = { …, -2, -1, 0, 1, 2, ….} dengan operasi biner penjumlahan dan
perkalian.Untuk a, b, dan c sebarang bilangan bulat, berlaku sifat:
- Tertutup terhadap operasi penjumlahan. Ada dengan tunggal ( a + b)
- Tertutup terhadap operasi perkalian. Ada dengan tunggal ( a x b )
- Sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan.a + b = b + a
- Sifat komutatof terhadap operasi perkalian a x b = b x a
- Sifat assosiatif terhadap penjumlahan ( a + b ) + c = a + ( b + c )
- Sifat assosiatif terhadap operasi perkalian ( a x b ) x c = a x ( b x c )
- Sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
- Sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan
( a + b ) x c = ( a x c ) + ( b x c )
- Untuk setiap a, ada tunggal elemen 0 dalam B sehingga a + 0 = 0 + a = a, 0 disebut elemen identitas terhadap
bilangan bulat.
- Untuk setiap a, ada tunggal elemen 1 dalam B sehingga a x 1 = 1 x a = a, 1 disebut elemen identitas terhadap operasi
perkalianOPERASI PENJUMLAHAN PADA BILANGAN BULAT
Jika a dan b adalah bilangan bulat positif, bagaimana kita menyelesaikan
( - a ) + ( -b ) ?
Penyelesaian:
Misalkan c adalah bilangan bulat yang menyatakan ( - a ) + ( -b ), yaitu
c = ( - a ) + ( -b ) maka
c + b = ( - a ) + ( -b ) + b
c + b = ( - a ) + ( ( -b ) + b )
c + b = ( - a ) + 0
( c + b ) + a = ( - a ) + a
( c + b ) + a = 0
c + ( b + a ) = 0
c + ( a + b ) = 0
c +( a + b ) + (- (a + b)) = - ( a +b)
c + (( a + b ) + (- (a + b) ) = - (a + b)
c + 0 = - ( a + b)
c = - ( a + b)
Karena c = ( - a ) + ( -b ) maka ( -a ) + ( - b ) = - ( a + b).
Jadi, jika a dan b bilangan bulat positif, maka ( -a ) + ( - b ) = - ( a + b).
Jika a dan b bilangan cacah dengan a < b =" c," b =" c" c =" b" a =" b" a =" b" b =" c" b =" a" c =" a" b =" c" a =" b" a =" b" a =" b" n =" b" n =" b" n =" 0" n =" c" n =" c,">
Tidak ada komentar:
Posting Komentar